כל פקודה תתחיל ב-MKגדולות עש מיכאל קלי (Michael Kali), וזאת משתי סיבות:
כדי שבטבלת הקיצורים שבתוך \SpecialChar LyX תופענה כל הפקודות זו לצד זו.
הבחירה דווקא באותיות גדולות נועדה לוודא שהפקודות אינן מתנגשות עם פקודות \SpecialChar LaTeX מקוריות.
על הפקודות להיות קצרות ככל האפשר, וזאת כדי לאפשר את כתיבתן במהירות מבלי ליצור להן קיצור מקלדת. הסיבה לכך שלא ניצור קיצור מקלדת לכל פקודה היא שפעמים רבות ניצור פקודות שתיועדנה למקרים מסוימים מאוד, ואז יעבור זמן רב עד שנשתמש בקיצור המקלדת בפעם הבאה ולכן לא נזכור אותו - הרבה יותר פשוט לזכור את הפקודה שיצרנו מכיוון שיש לה תוכן אמיתי שקשור לפלט הרצוי מן הפקודה. סיבה נוספת היא שיצירת קיצור מקלדת לכל פקודה ולו החריגה ביותר תקשה עלינו ליצור קיצורי מקלדת לפקודות חשובות יותר. לפיכך פקודות שימושיות מאוד שבוודאי ניצור להן קיצור מקלדת ונשתמש בו פעמים רבות אינן צריכות להיות קצרות.
כדי להקל על כתיבת פקודות שלא יצרתי להן קיצור מקלדת כתבתי קיצור מקלדת שיוצר את הקידומת של כל פקודות ה-macrosשלי ואז כל מה שנותר הוא להקיש שלוש-ארבע אותיות כדי לבחור את הפקודה הרצויה, קיצור המקלדת המדובר הוא "Ctrl+k".
לכל גופן יש קידומת בת שתי אותיות.
\(\:\)
\(\:\)קבוצות ופונקציות לפי קורסיםLatexCommand ruleoffset "0.5ex"width "100col%"height "1pt"\(\:\)
\(\:\)המספרים המרוכבים ופונקציות מרוכבות\(\:\)
\(\newcommand{\MKcis}{\text{cis}}\)\(\cos+i\cdot\sin\). המספרים המרוכבים.
\(\newcommand{\MKre}{\text{Re}}\)החלק הממשי של מספר מרוכב. המספרים המרוכבים.
\(\newcommand{\MKim}{\text{Im}}\)החלק המדומה של מספר מרוכב. המספרים המרוכבים.מופיע גם כתמונה של פונקציה.
אשמח לקבל הערות והארות על הסיכומים על מנת לשפרם בעתיד, כל הערה ולו הפעוטה ביותר (אפילו פסיק שאינו במקום או רווח מיותר) תתקבל בברכה; אתם מוזמנים לכתוב לי לתיבת הדוא"ל: sraya.ansbacher@mail.huji.ac.il.
המאגר עדיין בתהליכי בנייה, אשמח אם תעזרו לי לאסוף פונקציות פתולוגיות, סדרות פתולוגיות וטורים פתולוגיים; בעתיד בכוונתי להוסיף גם הסברים וגרפים עבור כל פונקציה.
רציפות: הנקודה היחידה שבה \(D_{2}\) רציפה היא \(a\), כל נקודה אחרת היא נקודת אי-רציפות מסדר שני.
גזירות: הנקודה היחידה שבה \(D_{2}\) גזירה היא \(a\).
אינטגרביליות:\(D_{2}\) אינה אינטגרבילית רימן על אף קטע סגור.
\(\clubsuit\)
מה שקרה כאן הוא ששילבנו בין הפרבולה \(x^{2}\) לישר המשיק לה בנקודה \(a\) ע"י פונקציית דיריכלה: ברציונליים קיבלנו את \(x^{2}\) ובאי-רציונליים קיבלנו את הישר המשיק, את הטריק הזה ניתן לעשות עם כל שתי פונקציות וכך לדאוג שהפונקציה החדשה תירש את תכונה של אחת מהפונקציות המקוריות אם"ם התכונה שייכת גם לפונקציה האחרת.
חלק 1.2 סינוס "משוגעת" ובנותיה
תהא \(S:\MKreal\rightarrow\MKreal\) פונקציה המוגדרת ע"י (לכל \(x\in\MKreal\)):
רציפות:\(S\) אינה רציפה ב-\(0\) (אי-רציפות מסדר שני), אך היא רציפה בכל נקודה אחרת.
גזירות:\(S\) אינה גזירה ב-\(0\), אך היא גזירה בכל נקודה אחרת.
אינטגרביליות:\(S\) אינטגרבילית על כל קטע סגור.
טענה 1. \(S\) אינה קעורה וגם אינה קמורה בכל מקטע הכולל את \(0\).
טענה 2. לכל \(m\in\MKreal\) ולכל \(0<\delta\in\MKreal\) קיים \(x\in B_{\delta}\left(0\right)\) כך ש-\(S'\left(x\right)=m\), בפרט \(0\) היא נקודת אי-רציפות מסדר שני של \(S'\).
חלק 1.2.1 הכפלה ב-\(x\)
תהא \(S_{1}:\MKreal\rightarrow\MKreal\) פונקציה המוגדרת ע"י (לכל \(x\in\MKreal\)):
גזירות:\(S_{1}\) אינה גזירה ב-\(0\), אך היא גזירה בכל נקודה אחרת.
אינטגרביליות: מהרציפות נובע ש-\(S_{1}\) אינטגרבילית רימן על כל קטע סגור.
טענה 3. \(S_{1}\) אינה קעורה וגם אינה קמורה בכל מקטע הכולל את \(0\).
טענה 4. לכל \(m\in\MKreal\) ולכל \(0<\delta\in\MKreal\) קיים \(x\in B_{\delta}\left(0\right)\) כך ש-\(S_{1}'\left(x\right)=m\), בפרט \(0\) היא נקודת אי-רציפות מסדר שני של \(S_{1}'\).
חלק 1.2.2 הכפלה ב-\(x^{2}\)
תהא \(S_{2}:\MKreal\rightarrow\MKreal\) פונקציה המוגדרת ע"י (לכל \(x\in\MKreal\)):
רציפות:\(S_{3}\) רציפה בכל תחום הגדרתה (היא אינה מוגדרת ב-\(0\)).
גזירות:\(S_{3}\) גזירה בכל תחום הגדרתה (היא אינה מוגדרת ב-\(0\)).
אינטגרביליות: מהרציפות נובע ש-\(S_{3}\) אינטגרבילית רימן על כל קטע סגור שאינו כולל את \(0\).
טענה 7. \(S_{3}\) אינה קעורה וגם אינה קמורה בכל מקטע הכולל את \(0\).
טענה 8. לכל \(m\in\MKreal\) ולכל \(0<\delta\in\MKreal\) קיים \(x\in B_{\delta}\left(0\right)\) כך ש-\(S_{3}'\left(x\right)=m\), בפרט \(0\) היא נקודת אי-רציפות מסדר שני של \(S_{3}'\).
חלק 1.3 פונקציית ויירשטראס
יהיו \(1<a\in\MKreal\) ו-\(b\in\MKodd\) כך ש-\(\frac{b}{a}>1+\frac{3\pi}{2}\). תהא \(W:\MKreal\rightarrow\MKreal\) פונקציית ויירשטראס המוגדרת ע"י (לכל \(x\in\MKreal\)):\[
W\left(x\right):=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\cos\left(b^{n}\pi x\right)}{a^{n}}
\]
תכונות פתולוגיות
רציפות:\(W\) רציפה.
גזירות:\(W\) אינה גזירה באף נקודה.
אינטגרביליות: מהרציפות נובע ש-\(W\) אינטגרבילית רימן על כל קטע סגור.
טענה 9. \(W\) רציפה.
הוכחה. נשים לב לכך שלכל \(x\in\MKreal\) ולכל \(n\in\MKnatural\) מתקיים:\[
\left|\frac{\cos\left(b^{n}\pi x\right)}{a^{n}}\right|\leq\frac{1}{a^{n}}
\]מכאן שע"פ מבחן ה-Mשל ויירשטראס טור הפונקציות הנ"ל מתכנס במ"ש ל-\(W\) על כל \(\MKreal\), ומכיוון שזהו טור פונקציות רציפות נובע מכאן ש-\(W\) היא פונקציה רציפה.
טענה 11. \(W\) אינה גזירה באף נקודה.
הוכחה. צריך להוסיף הוכחה.
חלק 2 אינטגרביליות
חלק 2.1 פונקציית רימן
תהא \(R:\MKreal\rightarrow\MKreal\)פונקציית רימן המוגדרת ע"י (לכל \(x\in\MKreal\)):\[
R\left(x\right):=\begin{cases}
0 & x\notin\MKrational\\
\frac{1}{q} & x=\frac{p}{q}\in\MKrational,\ q>0,\ \gcd\left(p,q\right)=1
\end{cases}
\]כלומר הערך שהפונקציה מקבלת ברציונליים הוא ההופכי של המכנה בהצגה המצומצמת.
\(\:\)
תכונות פתולוגיות
רציפות: פונקציית רימן רציפה אך ורק בנקודות אי-רציונליות.
גזירות: פונקציית רימן אינה גזירה בשום נקודה.
אינטגרביליות: פונקציית רימן אינטגרבילית רימן על כל קטע סגור (האינטגרל הוא \(0\)).
טענה 13. לכל \(a\in\MKreal\) מתקיים \(\lim_{x\rightarrow a}R\left(x\right)=0\).
הוכחה. יהי \(a\in\MKreal\) ויהי \(0<\varepsilon\in\MKreal\). יהי \(N\in\MKnatural\) כך ש-\(\eta:=\frac{1}{N}<\varepsilon\), מכאן שלכל \(N\geq q\in\MKnatural\) קיים לכל היותר \(p\in\MKinteger\) אחד ויחיד כך שמתקיים \(\frac{p}{q}\in B_{\eta}^{\circ}\left(a\right)\). א"כ קיימת \(0<\delta\in\MKreal\) כך שלכל \(N\geq q\in\MKnatural\) ולכל \(p\in\MKinteger\) מתקיים \(\frac{p}{q}\notin B_{\delta}^{\circ}\left(a\right)\), תהא \(\delta\) כנ"ל. מכאן שלכל \(x\in B_{\delta}^{\circ}\left(a\right)\) מתקיים \(-\varepsilon<0\leq R\left(x\right)\leq\frac{1}{N}<\varepsilon\).\[
\Rightarrow\lim_{x\rightarrow a}R\left(x\right)=0
\]
מסקנה 15. פונקציית רימן רציפה בכל הנקודות האי-רציונליות ואינה רציפה בכל הנקודות הרציונליות.
טענה 16. פונקציית רימן אינה גזירה בשום נקודה.
הוכחה. ראינו שהיא אינה רציפה בכל נקודה רציונלית ומכאן שהיא גם אינה גזירה בנקודות אלו. יהי \(x\in\MKreal\setminus\MKrational\), כשהתחלנו ללמוד על קירובים דיופנטיים3בקורס "תורת המספרים האלמנטרית". ראינו שקיימות סדרת טבעיים עולה ממש \(\left(q_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) וסדרת שלמים \(\left(p_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) כך שלכל \(n\in\MKnatural\) מתקיים:\[
\left|x-\frac{p_{n}}{q_{n}}\right|<\frac{1}{\left(q_{n}\right)^{2}}
\]ובפרט \(\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{p_{n}}{q_{n}}=x\); מכאן שאם הנגזרת \(R'\left(x\right)\) קיימת אז גם הגבול:\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{R\left(\frac{p_{n}}{q_{n}}\right)-R\left(x\right)}{\frac{p_{n}}{q_{n}}-x}
\]קיים ושווה לה. אבל לכל \(n\in\MKnatural\) מתקיים \(R\left(\frac{p_{n}}{q_{n}}\right)=\frac{\gcd\left(p_{n},q_{n}\right)}{q_{n}}\geq\frac{1}{q_{n}}\) ולכן גם:\[
\left|\frac{R\left(\frac{p_{n}}{q_{n}}\right)-R\left(x\right)}{\frac{p_{n}}{q_{n}}-x}\right|\geq\frac{\left|\frac{1}{q_{n}}-0\right|}{\left|\frac{p_{n}}{q_{n}}-x\right|}>\frac{\frac{1}{q_{n}}}{\frac{1}{\left(q_{n}\right)^{2}}}=q_{n}\xrightarrow[n\rightarrow\infty]{}\infty
\]מכאן שהנגזרת שפונקציית רימן אינה גזירה ב-\(x\) ומכיוון שהוא היה שרירותי הרי שהיא אינה גזירה בשום נקודה אי-רציונלית.
טענה 18. פונקציית רימן אינטגרבילית רימן על \(\left[0,1\right]\).
הוכחה. לכל חלוקה \(P\) של \(\left[0,1\right]\) מתקיים \(L\left(R,P\right)=0\) ומכאן שמתקיים \(\underline{I}\left(R\right)\), כלומר סכום דארבו התחתון של פונקציית רימן עבור חלוקה כלשהי של \(\left[0,1\right]\) הוא \(0\) ולכן גם האינטגרל התחתון שלה בקטע זה הוא \(0\). יהי \(0<\varepsilon\in\MKreal\), נניח בהג"כ ש-\(\varepsilon<1\) ונסמן \(N:=\left\lceil \frac{2}{\varepsilon}\right\rceil +1\) (כלומר \(\frac{1}{N}<\frac{\varepsilon}{2}\) ו-\(\frac{\varepsilon}{4}<\frac{1}{N}\)), א"כ קיימות לכל היותר \(N^{2}\) נקודות רציונליות ב-\(\left[0,1\right]\) שהמכנה המצומצם שלהן גדול או שווה ל-\(N\); תהיינה \(a_{1},a_{2},\ldots,a_{n}\in\left[0,1\right]\) כל הנקודות הללו כך שהן מסודרות בסדר עולה (\(a_{i}<a_{i+1}\) לכל \(n>i\in\MKnatural\)), א"כ (בהנחה ש-\(\varepsilon<1\)) לכל \(n>i\in\MKnatural\) מתקיים \(a_{i+1}-a_{i}\geq\frac{1}{N}>\frac{\varepsilon}{4}\). תהיינה \(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n},x_{n+1},y_{0},y_{1},y_{2},\ldots,y_{n}\in\left(0,1\right)\) נקודות המוגדרות ע"י (לכל \(n\geq i\in\MKnatural\)):\[\begin{align*}
y_{0} & :=0\\
x_{i} & :=a_{i}-\frac{\varepsilon}{8n}\\
y_{i} & :=a_{i}+\frac{\varepsilon}{8n}\\
x_{n+1} & :=1
\end{align*}\]א"כ לכל \(n\geq i\in\MKnatural\) מתקיים \(y_{i}-x_{i}=\frac{\varepsilon}{4n}\) (כלומר \(y_{i}>x_{i}\)) ולכל \(n>i\in\MKnatural\) מתקיים:\[
x_{i+1}-y_{i}=\left(a_{i+1}-\frac{\varepsilon}{8n}\right)-\left(a_{i}+\frac{\varepsilon}{8n}\right)>0
\]כמו כן מתקיים: \[\begin{align*}
x_{1}-y_{0} & =a_{1}-\frac{\varepsilon}{8}=\frac{1}{N}-\frac{\varepsilon}{8}>0\\
x_{n+1}-y_{n} & =1-\left(a_{n}+\frac{\varepsilon}{8n}\right)=1-\left(\frac{N-1}{N}+\frac{\varepsilon}{8}\right)=\frac{1}{N}-\frac{\varepsilon}{8}>0
\end{align*}\]מכאן שלכל \(n\geq i\in\MKnatural\) מתקיים:\[
\left(y_{i}-x_{i}\right)\cdot\sup\left\{ R\left(x\right):x\in\left[x_{i},y_{i}\right]\right\} \leq\left(y_{i}-x_{i}\right)\cdot1=y_{i}-x_{i}
\]ולכל \(n\geq i\in\MKnatural_{0}\) מתקיים:\[
\left(x_{i+1}-y_{i}\right)\cdot\sup\left\{ R\left(x\right):x\in\left[y_{i},x_{i+1}\right]\right\} <\left(x_{i+1}-y_{i}\right)\cdot\frac{1}{N}<\left(x_{i+1}-y_{i}\right)\cdot\frac{\varepsilon}{2}
\]הקבוצה \(P:=\left\{ y_{0},x_{1},y_{1},x_{2},y_{2},\ldots,x_{n},y_{n},x_{n+1}\right\} \) היא חלוקה של \(\left[0,1\right]\) המקיימת:\[
U\left(R,P\right)<\sum_{i=1}^{n}\left(y_{i}-x_{i}\right)+\sum_{i=0}^{n}\left(x_{i+1}-y_{i}\right)\cdot\frac{\varepsilon}{2}<\frac{\varepsilon}{4n}\cdot n+\left(1-0\right)\cdot\frac{\varepsilon}{2}<\varepsilon
\]\(\varepsilon\) הנ"ל היה שרירותי ולכן \(\overline{I}\left(R\right)=0\).\[
\Rightarrow\intop_{0}^{1}R\left(x\right)dx=0
\]
טענה 20. פונקציית רימן היא פונקציה מחזורית ו-\(1\) הוא מחזור שלה.
הוכחה. לכל \(x\in\MKreal\), אם \(x\notin\MKrational\) אז גם \(x+1\notin\MKrational\) ולכן \(R\left(x\right)=0=R\left(x+1\right)\), ואם \(x\in\MKrational\) כאשר \(\frac{p}{q}\) היא ההצגה המצומצמת שלו אז \(\frac{p+q}{q}\) היא ההצגה המצומצמת של \(x+1\)4מהעובדה שמתקיים \(\gcd\left(p,q\right)=1\) נובע שמתקיים \(\gcd\left(p,q+q\right)=1\). ולכן \(R\left(x\right)=\frac{1}{q}=R\left(x+1\right)\).
מסקנה 22. פונקציית רימן אינטגרבילית על כל קטע סגור.
\(\clubsuit\)
אם נגדיר \(g:\MKreal\rightarrow\MKreal\) ע"י:\[
g\left(x\right)=\begin{cases}
0 & x=0\\
1 & x\neq0
\end{cases}
\]נקבל:\[
\left(g\circ f\right)\left(x\right)=\begin{cases}
0 & x\notin\MKrational\\
1 & x\in\MKrational
\end{cases}=D\left(x\right)
\]וזאת למרות שגם \(g\) אינטגרבילית, כלומר הרכבה של אינטגרביליות אינה בהכרח אינטגרבילית.
חלק 2.2 פונקציות משולשים
תהיינה \(\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) ו-\(\left(h_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) שתי סדרות כך ש-\(0<a_{n}\leq\frac{1}{2}\) ו-\(h_{n}\geq0\) לכל \(n\in\MKnatural\). תהא \(f:\left[1,\infty\right)\rightarrow\left[0,\infty\right)\) פונקציה המוגדרת ע"י (לכל \(n\in\MKnatural\) ולכל \(x\in\left[n,n+1\right]\)):\[\begin{align*}
f\left(x\right) & :=\begin{cases}
\frac{h_{n}}{a_{n}}\cdot\left(x-n\right) & x\in\left[n,n+a_{n}\right]\\
-\frac{h_{n}}{a_{n}}\cdot\left(x-\left(n+2a_{n}\right)\right) & x\in\left[n+a_{n},n+2a_{n}\right]\\
0 & x\in\left[n+a_{n},n+1\right]
\end{cases}\\
& =\begin{cases}
\frac{h_{n}}{a_{n}}\cdot\left(x-n\right) & x\in\left[n,n+a_{n}\right]\\
-\frac{h_{n}}{a_{n}}\cdot\left(x-n\right)+2h_{n} & x\in\left[n+a_{n},n+2a_{n}\right]\\
0 & x\in\left[n+a_{n},n+1\right]
\end{cases}
\end{align*}\]
\(\clubsuit\)
הרעיון הוא שבכל קטע \(\left[n,n+1\right]\) הקטע \(\left[n,n+2a_{n}\right]\) הוא הבסיס של משולש שווה שוקיים שקודקודו בנקודה \(\left(n+a_{n},h_{n}\right)\) ועל כן שטחו הוא בדיוק:\[
\frac{2a_{n}\cdot h_{n}}{2}=a_{n}\cdot h_{n}
\]
תכונות פתולוגיות
רציפות:\(f\) רציפה.
גזירות:\(f\) אינה גזירה בכל נקודה מהצורה \(n\), \(n+a_{n}\) או \(n+2a_{n}\) (לכל \(n\in\MKnatural_{0}\)), אך היא גזירה בכל נקודה אחרת.
אינטגרביליות:\(f\) אינטגרבילית רימן על כל תת-קטע סגור של \(\left[0,\infty\right)\).
טענה 23. מתקיים (מדובר בשוויון פורמלי בלבד):\[
\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\cdot h_{n}=\intop_{1}^{\infty}f\left(x\right)dx
\]
\(\clubsuit\)
ע"פ השוויון הזה והידע שלנו על טורים נוכל לבנות פונקציות רציפות חסומות/לא חסומות שעבורן האינטגרל הנ"ל מתכנס/מתבדר כרצוננו, כל מה שצריך לעשות הוא לבחור את הסדרות המתאימות (דוגמאות בהמשך).
דוגמה 25. אם נבחר \(a_{n}=\frac{1}{2\sqrt{n}}\) ו-\(h_{n}=\frac{2}{\sqrt{n}}\) נקבל:\[
\intop_{1}^{\infty}f\left(x\right)dx=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}=\infty
\]כלומר האינטגרל מתבדר למרות ש-\(\lim_{x\rightarrow\infty}f\left(x\right)=0\) ו-\(f\) אי-שלילית.
דוגמה 26. אם נבחר \(a_{n}=\frac{1}{2n}\) ו-\(h_{n}=\frac{2}{n}\) נקבל5להסבר מדוע הטור מתכנס ל-\(\frac{\pi^{2}}{6}\) לחצו כאן, אין זה מענייננו כעת, כל מה שרציתי לומר הוא שהטור מתכנס.:\[
\intop_{1}^{\infty}f\left(x\right)dx=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}=\frac{\pi^{2}}{6}
\]כלומר האינטגרל מתכנס.
דוגמה 27. אם נבחר \(a_{n}=\frac{1}{2n^{3}}\) ו-\(h_{n}=2n\) נקבל:\[
\intop_{1}^{\infty}f\left(x\right)dx=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}=\frac{\pi^{2}}{6}
\]כלומר האינטגרל מתכנס למרות ש-\(f\) אי-שלילית ואינה חסומה מלעיל.
חלק 3 שונות
חלק 3.1 טורים וסדרות
צריך לכתוב את הפרק הזה.
חלק 3.2 "הלחמה" של פונקציות
\(\clubsuit\)
בסעיף זה נראה כיצד ניתן לשלב בין שתי פונקציות על מנת לקבל את התכונות של שתיהן.
נניח שנתבקשנו למצוא פונקציה \(f:\MKreal\rightarrow\MKreal\) כך שיתקיים:\[
\lim_{x\rightarrow\infty}\intop_{-x}^{2x}f\left(t\right)dt=c
\]עבור \(0\neq c\in\MKreal\) כלשהו6זה לא באמת משנה באיזה \(c\) מדובר כי תמיד יהיה ניתן להכפיל את \(f\) בקבוע ולקבל את הנדרש עבור \(c\) אחר.. הדבר הראשון שעולה לי בראש הוא שמהנוסחה היסודית נובע שלכל \(0<x\in\MKreal\) מתקיים:\[
\intop_{x}^{2x}\frac{1}{t}\ dt=\ln\left(2x\right)-\ln\left(x\right)=\ln\left(\frac{2x}{x}\right)=\ln\left(2\right)
\]הבעיה היא כמובן שנתבקשתי שהאינטגרל יהיה מ-\(-x\) ל-\(2x\) ולא מ-\(x\) ל-\(2x\). כדי לתקן זאת אני רוצה למצוא פונקציה שתחזיר \(\ln\left(-x\right)\) לכל \(x\) שלילי קטן מספיק ו-\(\ln\left(x\right)\) לכל \(x\) חיובי גדול מספיק; הבעיה היא שאני זקוק לפונקציה שהיא לא רק רציפה, אלא גם גזירה בכל נקודה כדי שהיא תהווה קדומה של פונקציה אחרת ואז אוכל להשתמש בנוסחה היסודית. הפתרון הוא כזה: תהא \(F:\MKreal\rightarrow\MKreal\) פונקציה המוגדרת ע"י (לכל \(x\in\MKreal\)):\[
F\left(x\right):=\begin{cases}
\ln\left(x\right) & x\geq1\\
\frac{x^{2}-1}{2} & -1\leq x\leq1\\
\ln\left(-x\right) & x\leq-1
\end{cases}
\]כיצד הפונקציה הזו פותרת את הבעיה? הרעיון הוא כזה בתחילה רצינו שהפונקציה תוגדר כך:\[
F_{0}\left(x\right):=\begin{cases}
\ln\left(x\right) & x>0\\
\ln\left(-x\right) & x<0
\end{cases}
\]אבל לפונקציה הזו יש אי-רציפות מסדר שני ב-\(0\), זו בעיה שא"א לתקן בקלות, א"כ נרצה לבטל את כלל ההתאמה של \(F_{0}\) בקטע \(\left(-1,1\right)\) ולהכניס בקטע זה פונקציה גזירה \(F_{1}\) שתתלכד עם \(F_{0}\) בנקודות הקצה ולא זו אף זו גם הנגזרות שלהן תתלכדנה בנקודות הקצה של \(\left(-1,1\right)\); לשיטה הזו אני קורא "הלחמה" של פונקציות. בד"כ הדרך הכי פשוטה לבצע "הלחמה" היא באמצעות פולינום, ואכן הפולינום \(F_{1}\left(x\right):=\frac{x^{2}-1}{2}\) מקיים את המבוקש, שכן מתקיים:\[\begin{align*}
F_{1}\left(\pm1\right) & =\frac{\left(\pm1\right)^{2}-1}{2}=0=\ln\left(1\right)=F_{0}\left(\pm1\right)\\
F_{1}'\left(\pm1\right) & =\pm1=\left(\pm1\right)\cdot\frac{1}{1}=\left(\pm1\right)\cdot\ln'\left(1\right)=F_{0}'\left(\pm1\right)\\
\intop_{-1}^{0}F_{1}\left(x\right)dx & =\intop_{-1}^{0}\frac{x^{2}-1}{2}dx=\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{0^{3}}{3}-0\right)-\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{\left(-1\right)^{3}}{3}-\left(-1\right)\right)\\
& =\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{1^{3}}{3}-1\right)-\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{0^{3}}{3}-0\right)=\intop_{0}^{1}F_{1}\left(x\right)dx
\end{align*}\]כעת לאחר שאנו מבינים את הרעיון נעבור להוכחה הפורמלית. לכל \(\pm1\neq x\in\MKreal\) מתקיים:\[
F'\left(x\right)=\begin{cases}
\frac{1}{x} & x>1\\
x & -1<x<1\\
\frac{1}{x} & x<-1
\end{cases}
\]וכמו כן מתקיים \(F'\left(1^{+}\right)=\frac{1}{1}=1=F'\left(1^{-}\right)\) ו-\(F'\left(-1^{+}\right)=\frac{1}{-1}=-1=F'\left(-1^{-}\right)\) ומכאן ש-\(F'\left(\pm1\right)=\pm1\), כלומר לכל \(x\in\MKreal\) מתקיים:\[
F'\left(x\right)=\begin{cases}
\frac{1}{x} & x\geq1\\
x & -1\leq x\leq1\\
\frac{1}{x} & x\leq-1
\end{cases}
\]נסמן \(f:=F'\), מכאן שע"פ הנוסחה היסודית מתקיים לכל \(1<x\in\MKreal\) מתקיים:\[
\intop_{x}^{2x}f\left(t\right)dt=F\left(2x\right)-F\left(x\right)=\ln\left(2x\right)-\ln\left(x\right)=\ln\left(2\right)
\]
רוצים לפרגן לי על בניית האתר וכתיבת הסיכומים? אתם מוזמנים לתת טיפ.פורמטים נוספים:
#scrollButton {
position: fixed; /* Keeps the button in a fixed position */
bottom: 0.7em; /* Distance from the bottom */
right: 0.7em; /* Distance from the right */
height: 3.5em;
width: 3.5em;
cursor: pointer;
background-color: #084149;
opacity: 80%;
}
#scrollImage {
position: fixed; /* Keeps the button in a fixed position */
bottom: 0.7em; /* Distance from the bottom */
right: 0.7em; /* Distance from the right */
height: 3.5em;
width: 3.5em;
opacity: 80%;
}
function scrollToTop() {
window.scrollTo({ top: 0, behavior: 'smooth' });
}
דפי האתרדף הביתאודותצור קשרמפת אתרענפים מתמטייםהתחלהאנליזהאלגברהענפים נוספיםאקסיומת השלמותסיכומי הרצאות במתמטיקהדף הביתתרומהאודותהקדשהמפת אתרהתחלהאנליזהאלגברהענפים נוספיםצור קשרעודלאתר הקודםsrayaa.comעִבְלִיקְסתנ"ך ברויאר מוקלט
( function() {
var skipLinkTarget = document.querySelector( 'main' ),
sibling,
skipLinkTargetID,
skipLink;
// Early exit if a skip-link target can't be located.
if ( ! skipLinkTarget ) {
return;
}
/*
* Get the site wrapper.
* The skip-link will be injected in the beginning of it.
*/
sibling = document.querySelector( '.wp-site-blocks' );
// Early exit if the root element was not found.
if ( ! sibling ) {
return;
}
// Get the skip-link target's ID, and generate one if it doesn't exist.
skipLinkTargetID = skipLinkTarget.id;
if ( ! skipLinkTargetID ) {
skipLinkTargetID = 'wp--skip-link--target';
skipLinkTarget.id = skipLinkTargetID;
}
// Create the skip link.
skipLink = document.createElement( 'a' );
skipLink.classList.add( 'skip-link', 'screen-reader-text' );
skipLink.href = '#' + skipLinkTargetID;
skipLink.innerHTML = 'לדלג לתוכן';
// Inject the skip link.
sibling.parentElement.insertBefore( skipLink, sibling );
}() );